初见流形上的微积分

简介

以本篇笔记记录时我大一的数理能力是无法去完全阅读流形相关的内容的，因此，我只能在此做一个科普性的导论。我们会从一个工科生的角度，从流形之前的知识到stokes公式的引出，从而拓展出一个完整的流形上的微积分的概念。

前排提示：文章内容完全不严谨，纯粹是出于个人的理解。想要系统学习，建议阅读Loring W. Tu的《An Introduction to Manifolds》一书，同时关于本篇文档的排版措辞仍需修饰，仍然是一个不完整版本

向量空间

首先，向量空间本身的定义和一些性质是高代里的内容，在这里不进行详细的说明。

向量空间的同构

向量空间的同构本应该也是属于向量空间里的内容，之所以要拿出来单独的讲一讲是因为，正是由于它所引导出来的概念让我困惑了许久。

如果有两个向量空间 $V$ 和 $W$ ，线性变换 $T(V)=W$ 使得 $V$ 中的每一个元素有且仅有一个在 $W$ 中的元素与之对应，则该线性变换称为从 $V$ 到 $W$ 上的一个同构。这两个向量空间只是名字不一样， $V$ 或者 $W$ 所进行的所有计算都可以完全的在另一个完全相同的进行。

那么这就意味着，这两个向量空间 $V$ 和 $W$ ，其实在结构上没有任何的差别，是等价的，在不引起歧义的情况下完全可以相互代换。

对偶空间(dual space)

设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，则可以验证所有从 $V$ 到 $\mathbb{F}$ 的线性映射(称为线性泛函)也构成一个线性空间。记作 $V^{*}$ (证明略)

可以证明 $(V^{*})^{*}$ 同构于 $V$ ，那么就可以利用 $V^{**}$ 扩展 $V$ 的定义，$V$ 同时也就成为了 $V^{*}$ 上的线性泛函。这样的对计算的扩展对其他本身的含义并不影响，却铸就了张量这样有效的计算工具。

注意：我们应当非常小心的区分同构与等同之间的差别

欧氏空间

为了把我们手头已经有的微积分拓展到普遍的流形上，必须得回来康康我们手头有的东西的性质。
要想开始微积分，我们需要定义导数，而在导数定义之前，我们其实要先考虑一个东西，叫做切向量。
其实导数或者说叫做微分定义完了基本上这篇导论也就结束了。

切向量

我们手头的东西往往都依赖于欧氏空间的线性性质，抑或是我们曾经把一些流形嵌入到欧式空间进行研究，但往往不是所有情况都允许我们这样做的。切向量正是这样。
在欧式空间中，对于一个嵌入到 $\mathbin{R}^{n}$ 中的曲线，求导，其实就是求一个切向量嘛，那么它的定义其实很简单，用 $f(t):\mathbin{R}\to\mathbin{R^{n}}$ 代表一个曲线，其切向量为：

$f'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$

但是这种几何直观下的切向量其实并不能自然的拓展到流形当中，因为这样的定义依赖于这样的曲线是嵌入在一个欧式空间当中的，而我们要拓展的对象并不能保证这一点，所以我们要用别的方法寻找到一个切向量。

我们灵机一动。发现切向量和方向导数具有美好的一一对应关系(这里显然和高数中的方向导数是不一样的，其实方向导数可以不一定非要是单位向量的方向导数)，因此我们不妨扩展切向量的定义，把切向量当成一种函数，它可以输入一个空间上定义的函数，输出一个实数，其实这种函数在欧氏空间里最好的例子就是方向导数。

而在流形上，自然也就不存在几何性质的切向量了，那我们扩展的定义就自然而然成为了它原本的定义。

$v:=\vec{v}(f),\vec{v}:\mathbin{C^{\infty}_{P}}\to\mathbin{R}$

同时

$\forall f$,$g\in\mathbin{C^{\infty}_{P}}$，有$v(f+g)=v(f)+v(g)$
$\forall f\in\mathbin{C^{\infty}_{P}}$，$\forall \lambda \in \mathbin{R}$,有$v(\lambda f)=\lambda \cdot v(f)$
$\forall f$,$g\in\mathbin{C^{\infty}_{P}}$，有$v(f\cdot g)=f(x)\cdot v(g)+g(x) \cdot v(f)$

然后接下来就是证明这样所有的切向量组成的集合是一个向量空间了，在此证明略去，不过我要提一提这样的切向量其形式的证明
首先由这样的一个引理(带积分余项的Taylor定理)：
在$n$维欧式空间$\mathbin{E^n}$中选定直角坐标系，设$g\in\mathbin{C^{\infty}_{P}}$,且点P的坐标为$(x^1_0,\cdots,x^n_0)$,则$g$可以表示为：

$g(x^1,\cdots,x^n)=g(x^1_0,\cdots,x^n_0)+\sum^{n}_{i=1}(x^i-x^i_0)h_i(x^1,\cdots,x^n)$

其中$h_i\in\mathbin{C^{\infty}_{P}}$，并且

$h_i(x^1_0,\cdots,x^n_0)=\frac{\partial g}{\partial x_i}(x^1_0,\cdots,x^n_0)$

可以证明切向量作用在常数上得到的值是0
那么把切向量$v$作用在$f$上可以得到

$v(f)=v(\sum^{m}_{i=1}(x^i-x^i_0)g_i) \\=\sum^{m}_{i=1}v(x^i)g_i(x_0) \\=\sum_{i=1}^{m}v(x^i)\frac{\partial }{\partial x^i}(f), \\v=\sum^m_{i=1}v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

如此，切向量的形式就可以确定下来了，而且它的基向量也可以确定下来了，那就是$\{\frac{\partial}{\partial x^1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^n}\}$
那有了切向量对应的切空间，自然就会去想它的对偶空间也就是称为余切空间是什么样子的
利用类似的方法我们可以确定余切空间的基向量是$\{dx_1,\cdots,dx_n\}$
余切向量的形式也就自然而然的定下来了($df$)
所以说$dx$其实是余切向量而非$\Delta x$

张量

张量也是一种函数，并且是一个分级的函数，并且所有$(p,q)$型张量也同样形成向量空间。张量本身也是一个线性变换

所谓$V$上的一个$(p,q)$型张量是指$\underbrace{V^*\times \cdots \times V^*}_{p个}\times \underbrace{V\times \cdots \times V}_{q个}$上的一个$p+q$重线性函数，其中$p$为反变阶数，$q$为协变阶数。全体$V$上的$(p,q)$型张量的集合记作$V^p_q$
张量相同的上下指标可以相消，这是建立在相互作用上的，写在左边就是作用者，写在右边就是被作用者。与张量缩并无关

张量积的定义如下
一般的，设$V_1,\cdots,V_p$，$W_1,\cdots W_q$是$p+q$个向量空间，$\alpha \in \mathscr{L}(V_1,\cdots,V_p;\mathbf{R})$，$\beta \in \mathscr{L}(W_1,\cdots,W_q;\mathbf{R})$，则张量积$\alpha \otimes \beta$是$V_1\times \cdots \times V_p \times W_1\times \cdots \times W_q$上的$p+q$重线性函数，定义为

$\alpha \otimes \beta(v_1,\cdots,v_p,w_1,\cdots,w_q)\\=\alpha(v_1,\cdots,v_p)\cdot\beta(w_1,\cdots,w_q)$

其中$v_r\in V_r$，$1\le r \le p$，$w_s\in W_s$， $1\le s\le q$
张量积满足结合律与分配律，是一种把低阶张量转换为高阶张量的运算

$V$上的$k$重线性函数也被称为$V$上的$k$阶张量。可证$V$上的$k$重线性函数构成一个向量空间，符号记作$L_k(V)$

楔积

要想定义楔积，得先知道别的一些概念。

$k$重线性函数$f:V^k\to \mathbb{R}$称为是对称的，如果对任何置换 $\sigma \in S_k$有 $f(v_{\sigma (1)},\cdots v_{\sigma (k)})=f(v_1,\cdots,v_k)$
$k$重线性函数$f:V^k\to \mathbb{R}$称为是交错的，如果对任何置换$\sigma \in S_k$有$f(v_{\sigma (1)},\cdots v_{\sigma (k)})=(sgn \sigma)f(v_1,\cdots,v_k)$

$sgn \sigma$为判断置换是奇是偶，在行列式定义中也有出现

将所有$k$重线性函数构成集合记作$A_k(V)$，可以证明$A_k(V)$是一个向量空间，而且是$L_k(V)$的子空间

现在，任给$V$上的$k$重线性函数$f$，可以按照以下方法构造一个对称的$k$重线性函数$Sf$:

$(Sf)(v_1,\cdots,v_k)=\sum_{\sigma \in S_k}f(v_{\sigma (1)},\cdots v_{\sigma (k)})$

或简写成$Sf=\sum_{\sigma \in S_k}\sigma f$
与之相同，任给$V$上的$k$重线性函数$f$，可以按照以下方法构造一个交错的$k$重线性函数$Af$:

$(Af)(v_1,\cdots,v_k)=\sum_{\sigma \in S_k}(sgn \sigma)f(v_{\sigma (1)},\cdots v_{\sigma (k)})$

或简写成$Af=\sum_{\sigma \in S_k}(sgn \sigma)\sigma f$

设$f$，$g$是两个交错线性函数,我们希望它们的”积”也是交错的,然而张量积却不能保证这一点.因而我们给出一种全新运算楔积来满足这一点。
对于任意$f\in A_k(V)$，$g\in A_l(V)$，定义楔积如下

$\alpha\wedge\beta:= \frac{1}{k!l!}A(\alpha\otimes\beta)$

楔积有如下的运算性质
设$f\in A_k(V)$，$g\in A_l(V)$，$h\in A_m(V)$

楔积$\wedge$关于$f$和$g$是双线性的
对于任意常数$c$，有$c\wedge f=cf$
反交换性：$f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f$
结合性：$(f\wedge g)\wedge h=f\wedge (g\wedge h)$

微分形式

定义微分形式

这一段我并不是很能理解原因，但是其具有的数学美感确实打动了我，直接看定义吧
$\mathbb{R^n}$开集$U$上的微分$k$-形式(简称$k$-形式)是一个映射$\omega$，他将$U$里的每一个点p赋予一个切空间$T_p\mathbb{R^n}$上的交错$k$重线性函数($k$阶余向量)，即$\omega \in A_k(T_p\mathbb{R^n})$

一阶微分形式有形式不变性，这在多元函数微积分中有提及，即无论 $u$ ，$v$ 是自变量还是中间变量，函数 $z=f(u,v)$ 的全微分形式是一样的。

外导数

外导数算子，或叫外微分算子是一个映射，记作 $d$ ，它将一个 $k$ -形式映射成一个 $(k+1)$ -形式，即 $d:\Omega^k(U)\to \Omega^{k+1}(U)$

在定义 $\mathbb{R^n}$ 开集$U$上的任意$(k)$-形式，要定义 $0$ -形式的外导数，接着再定义$k\ge 1$形式的外导数

( $0$ -形式的外导数)
设 $f\in C^\infty_a$ ，则 $f$ 的外导数或叫外微分定义为它的微分 $df\in \Omega^1(U)$ ，写成分量形式即是，$df=\sum \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$

($k$-形式的外导数)
设 $k\ge 1$ ，若 $\omega = \sum_I a_Idx^I\in \Omega^k(U)$ ，则 $\omega$ 的外导数或外微分定义为

$d\omega = \sum_Ida_I\wedge dx^I =\sum_I(\sum_j\frac{\partial a_I}{\partial x_j}dx^j)\wedge dx^I \in \Omega^{k+1}(U)$

所以常见的重积分中 $dxdy$ 中间的运算其实是楔积而不是乘积

外导数算子 $d$ 有如下计算性质

作为线性算子的性质
$d(\omega\wedge\tau)=(d\omega)\wedge\tau+(-1)^{\omega 阶数}\omega\wedge d\tau$
$d^2=0$

Stokes公式

这一阶段要详细讲述可能需要较大篇幅，我们就从一个角度引入，初窥门径就行了，中间证明也不是现阶段的我能够看懂的

首先我们必须先定义积分是什么
既然我们最终想研究的是流形上的微积分，我们就一定会想到微积分基本定理，这对我们来说再熟悉不过了

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)$

我们看到，这样的一个定理是把 $[a,b]$ 上一段的积分变为计算边界条件的两个差，由计算一个集合内部转为计算它的边界条件，就是微积分基本定理所起到的作用

在流形上，函数可以用好几种表达形式(坐标卡都不同)，如果积分，是有歧义的，只有微分形式，可以进行积分的变元，在流形上积分是不会有歧义的

综合上面两点，可以证明出stokes公式
对于 $n$ 维微分流形 $M$ ，$\Omega\subset M$ ，$\partial\Omega$ 是一个 $n-1$ 维微分流形，为 $M$ 的边界，$\omega$ 为 $(n-1)$ -形式，$d\omega$ 为 $n$ -形式，可得

$\int_{\partial \Omega}\omega=\int_{\Omega}d\omega$

可以很自然的看到，格林公式，斯托克斯公式(狭义)，高斯公式都是stokes公式在特定条件下的导出结论

$\partial \Omega$的方向

当$p \in \partial M$时，我们可以选择一个局部坐标系$(x_1,\ldots,x_{n-1})$和坐标域$U$，使得$\partial M$在这个坐标系下可以表示为：

$x_1=0,x_2=0,\ldots,x_{n-1}=0$

然后，我们定义向量场

$v(p)=\dfrac{\partial}{\partial x_1}\bigg|_p$

在$p$处的值是$T_p \partial M$的正向基。重复对$\partial M$上每个点进行这样的选择，即可得到$\partial M$上的一个自然定向。

需要注意的是，$\partial M$的自然定向取决于$M$的定向以及在构造局部坐标系时的选择。在某些情况下，不同的选择可能会得到不同的自然定向。但是，如果我们要使用定向的$\partial M$来计算积分或者应用斯托克斯公式，我们需要选择一种确定的自然定向，并且在整个计算过程中都要保持这种定向的一致性。如果所有自然定向和M的定向相同，那么就是有向流形M边界自然诱导定向了

而定向相同就是两个坐标系的转换方程的雅可比行列式大于0

对于$R^n$，可以把自然诱导定向拓展为内法向量

在欧式空间中直观的观察可以归结如下图

$\omega$的顶端那个面肯定是算作正的嘛，确实按照这样的算法也是正的了。
对于二重积分，利用green公式转化为的曲线积分也是逆时针的，和这张图中的$\partial\psi$计算一致，证明我们的思路正确
xyz要根据顺序从高到低消去，这是由原本的笛卡尔坐标系赋予的

至于第二类积分和第一类积分的差别，我发现，第一类积分往往都是正的，有物理意义的特例，在计算上往往会化归为第一类，而且由于它是物理意义的，所以默认$dxdy$，$\omega$它都是方向与坐标系一致

之后也就沿袭这种默认了，可以用计算验证，重积分也默认区域和坐标系同向

如果说不是欧式空间，那必然会知道流形预设的方向，而利用之前的微分公式，列出微分方程，可以做到积分的需求，stokes向上的过程不管积分的是标量场还是向量场都是需要解PDE的(可以替代积分哦)

至此在任意坐标系下积分都成为流形上的运算了，已经都能算了

流形上广义积分

其实对于一维的广义积分，其写法也不是直接运用的牛顿莱布尼茨公式(本来牛顿莱布尼茨也不支持开区间)，而是写成了极限与普通积分的形式，如下，所以其实流形上广义积分也不是通过stokes来延拓的，主要还是写成区间的极限形式，于是便可以使用stokes公式了，这里我们不写出广义积分的定义，因为我手头的书上居然都没有给出这个东西(笑)

$\int_{0}^{+\infty}f(t)dt=\lim_{x \to +\infty} \int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{x \to +\infty} F(x)-F(0)$

拓展到流形

为什么我们讲了那么久都没有怎么讲到流形呢，因为我觉得微分流形本身不复杂，我个人没有在这个概念上卡很久，流形本身就是一个特殊的集合，找了一个一一到上的光滑映射使得和 $\mathbb{R^n}$ 构建关系，让流形上的问题回归常见的直角坐标系
我还是用一个小例子引出：
流形上的积分定义如下：
设 $(O,\psi)$ 是n维定向流形 $M$ 上的右手坐标系(应当是和流形方向一致)，$w$ 是开子集 $G\subset O$ 上的 $C^\infty n$ 形式场，则 $w$ 在 $G$ 上的积分定义为

$\int_G w:=\int_{\psi(G)}w_{1\cdots n}(x^1,\cdots,x^n)dx^1\cdots dx^n$

可以看到这样的定义是十分自然的过渡，几乎就是从流形一一对应的那个空间来研究流形本身了，这也是化归思想和抽象思想完美结合的体现吧