含水滚筒的水平面

前言

最近看到一道我个人感觉挺感兴趣的一题，让我开始注意了物理当中微分相关的性质

问题

如果有一个装满水的滚筒，假设它以$ \omega $为角速度沿着它的中轴旋转，若其水不会被甩出，那么求证，水面为抛物面
其实这个题本身并没有什么大难度，而是要以曲面的思维去考虑，对于曲面上一小团水，数学里喜欢说xx元素，这里也可以被称为水元素，那这团水元素会受重力，其它水元素对它的力，总体合成出来可以提供向心力，如图。

换作高中的我大抵是想不到下一步的，我会以为是知识不足，但是若我能注意到，模糊的那个力，也就是其它水元素对它的力，这个力的方向其实是由曲面切向来决定的，那问题就很好解决了

$$y'(r) = \frac{mg}{m \frac{v^2}{r} } =\frac{g}{v^2}r$$

显然，这就是抛物面咯

延申

其实我也不是第一次见这种方法了，当时第一次接触悬链线的时候我就见过它，角度往往能和切线搭上关系，可是这究竟是为什么呢？
这也许就是微分学和物理能巧妙结合的原因吧。
(又水了一篇，感觉最近状态不太好，就想写水文，不过好在这里可以自由发挥，也无关紧要啦 ^_^ )