含水滚筒的水平面

前言

在计算一个圆盘的摩擦力矩的时候产生了一些困惑，写下来与大家共同探讨

如果一个质量为$m$，半径为$R$的均匀圆板平放在桌面上，圆环与桌面之间的动摩擦因数为$\mu$，若圆板绕通过圆心且垂直与桌面的转轴旋转，求在圆板转动过程中摩擦力对转轴的力矩

显然对于这个问题，我能想到的最无脑的方式就是二重积分，实际上我也是这么做的

$M = \int_{\Omega}\frac{\mu mg}{S}\cdot r \mathrm{d}S=\frac{2}{3}\mu mgR$

但紧接着我就注意到了，老师用的方法是圆盘的分割无限加细，需要把圆盘分割成无限多个圆环

将圆盘分割成无限多个圆环，则圆盘的质量面密度：

$\sigma = \frac{m}{\pi R^2}$

圆环的质量为

$\mathrm{d}m = \sigma \mathrm{d}S = \sigma 2\pi r \mathrm{d}r$

每个圆环产生的摩擦力矩

$\mathrm{d}M_{阻} = \mu gr \mathrm{d}m\\M_{阻}=\int \mathrm{d}M_{阻} =\int_{0}^{R} \mu gr\mathrm{d}m=\frac{2}{3}\mu mgR$

这种方法其实并不显然，其实还是把问题转化为了求一个面积元素，在求圆环质量时就是再求一个面积元素

这就是我当时疑惑的点，因为在我看来，如果把它转化为一个圆环时成立的话，类似割圆法转化为好几个圆棒也自然是可以的，但结果算出来却是不同，以下是这种方法的错误计算结果

首先计算单个圆棒的

$M_{阻} = \int_0^{R} \mu r\frac{m_棒}{R}g \mathrm{d}r = \frac{1}{2}\mu m_棒gR$

再计算整体的，即在原来基础上乘以$2\pi$，又把$m_棒$换成整体的质量，也就是$\frac{m_棒}{2\pi}$

$M_{阻} = \frac{1}{2}\mu mgR$

发现问题了么，这里第一个积分计算的是一个线元素，而我们在上面的例子全部都是面积元素，而这边我们需要把面积分为线元素和面元素，但线元素和面元素本来就没有什么关系

这点我们的微分学就能告诉我们，这绝对是错的

当我询问了老师同学之后，我得到了答案，在这里，我们根本不能分成棒，只能分成三角形，这点就是来源于面元素不能和线元素混为一谈，不能强行直观上凑一个式子出来，将他俩转化

而如果是三角形的话，整体的力的重心就到了$\frac{2}{3}$，瞧，这个神奇的分数就这么出来了

所以说，对于一个二维的问题，我们自然只能分为面元素来考虑，而不能降一级到线积分，否则必然会遇到其中的问题(什么雅可比方程组的缩放比例之类的事情)

对于一个n维的分布问题，我们只能获得体积元素，也就是，立体只能得到体密度，面只能得到面密度，体只能用体积元素逼近，面只能用面积元素逼近。

小小思考，如是而已，愿君共勉。