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stokes公式

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stokes公式

我先前对stokes公式了解不够深入，导致使用时出现了一定的问题，就把它单独列出来吧

stokes定理表述

For any smooth (n-1)-form $\omega$ with compact support on the oriented n-dimensional manifold $M$

之前遇到的问题

之前我将stokes公式用于降低微分n形式的n，我解释它需要求解一个PDE，但我遇到了一些问题，关于三重积分变为闭曲面二重积分，再将闭曲面分离开，再用斯托克斯公式继续降为曲线积分，但发现最后结果变成0了，这是什么原因？

分析一下

其实已知的所有定理，包括可加性包括stokes都是正确的，但微分n形式不一定能对应一个微分n-1形式的积分，这里降级的过程不一定成功，自然也就不存在对应关系，不存在对应关系stokes定理绝对是用不了的

事实上我发现有一个降级的必要条件，如下图

上图即证明，如果能降两级，除非最顶上函数恒为0，不然函数肯定是不存在的，也就无法降级了

而这样一个结论其实就是曲面积分只与边界曲线有关

整理一下

  • 一个曲面积分若能用stokes公式转化为曲线积分，那么把它补齐，在转化为三重积分，微分形式为0($x - x = 0$)(后面的$-x$就是补的面)
  • 一个曲面积分若$d\omega$不为0，不能化到曲线积分($d^2\omega$=0所导致的限制)，若补全并转化为三重积分不为0，也就是说不满足曲面积分只取决于边界曲线，不再是$x-x=0$，而是$x-y\ne0$了

stokes公式给出的前提条件是用来把低一级转化为高一级的，其中自然没有障碍，但是要想反推出把高一级转化为低一级的stokes公式，式子当然是没有变化，但是前提条件自然是会发生变化的

进一步

整理如下表

补充一点，这里还有一个积分区域维度不高于整体维度的约束条件，即当$\omega$为n维流形的微分n形式时，无法向更高一级转化

直观感受就是一个低一级的积分能被高一级的积分所囊括，但是高一级的积分不一定之和它的边界条件有关，要满足一定的更加苛刻的条件(对于$\int_{\Omega}\omega$想要向低一级转化必须满足$d\omega = 0$)，这是符合直觉的(高维能包含低维，低维包含高维需要制约条件的直觉)

关键点就是只有$d\omega$等于0时候才能做到“以偏概全”，其它时候只能“高维表达低维”

闭形式与恰当形式

引用wiki上闭形式与恰当形式
在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式$\alpha$是微分算子$d$的核，即$d\alpha=0$(注意这里是恒成立，如果是某些项出现除以0导致的不存在，那也不算)的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式)$\alpha$是微分算子$d$的像，即存在某个微分形式$\beta$使得$\alpha=d\beta$，$\beta$称为关于$\alpha$的一个“本原”。
有如下两个结论：

  • 恰当形式一定是闭形式
  • 闭形式不一定是恰当形式

    展开来说，依据庞加莱引理，如果整体的流形$\omega$是单联通的(可以连续的缩为一个点)则闭形式为恰当形式
    但如果整体的流形$\omega$不是单连通的，那么闭形式就不一定是了(而且甚至要用stokes定理反证它不是，就是证明如果存在和stokes计算结果不一致)，当然，我们也无需考虑这一种情况了(需要利用deRham定理，还需要计算流形的Betti数)，相关内容 陈维恒《微分流形初步》P195

如此，$d\omega=0$不能说明它是恰当形式，只有上述情况已被证明闭形式是恰当形式，这些情况也不覆盖所有的可能，因而还得具体问题具体分析
对于这些已经被证明的情况之外的情况，$d\omega=0$仍然得找到一个在规定区域上均有定义的”原微分形式”才能说明一切

即使是deRham定理也只是叙述了光滑紧致流形上的情况。不过根据庞加莱引理，在任意球状邻域内闭微分式都是恰当的，那么证明一般来说都可以解，只不过解出来的是否都是覆盖到整体，就不一定了

证明不成立，可以用闭合$(p+1)$维曲面的环路积分为$0$，这个stokes推论去反证

总之判断一个闭形式是否是恰当形式非常困难，DeRham定理也只是判断是否闭形式就是恰当形式，而在上述命题时也不能确定一个闭形式是否就是恰当形式

可以利用子流形上的积分是把微分形式限制在一个子流形上的区域，再在区域的微分流形上利用子流形相对于原流形的制约方程，可以对子流形的微分形式进行更换，再匹配到更大的微分流形上，通过联系stokes，实现更大范围的运算。这里用到了流形之间的光滑映射诱导的形式场的映射用来转化，更专业一点的术语叫拉回

边界的小问题

Stokes公式在需要微分形式有紧致支撑集，这就相当于在紧致流形上进行计算。

我们思考一个流形是哪个流形的边界时，应该去凑谁的边界是它，或者是它的一部分，而不是看它围成的区域，因为我们的这个计算的流形，不能超过整个流形

如果说人为规定流形为$\{(x,y)|x^2+y^2\le 2\}-\{0,0\}$，上面定义了微分形式，要求一个$\{(x,y)|x^2+y^2= 1\}$的积分，如果微分形式在上面没有紧支撑(整个流形的闭包还是整个流形，因为拓扑空间$X$即是开集也是闭集)，stokes不能使用，有紧支撑的话，能使用(计算方法同下一段)。因而stokes还是有相当的限制在其中的，不是全部都能计算的

stokes没有规定流形一定要有边界，但是一定要有紧致支撑集，当然要是纯纯的开集，还有紧致支撑集的话，使用stokes肯定是0(开的部分是不算边界的)

这很好理解，因为有紧致支撑集说明函数导数在0，1处为0了，根据微积分基本定理肯定为0
同理半开半闭区间，就是只能算一边，另一边为0的情况

但是显然正常来说，嵌入在$\mathbb{R}^n$中的stokes定理的推论无需关注这点，因为一般来说函数覆盖整个$\mathbb{R}^n$或者其中很大的区域，题目也从不对其设置限制

总结

首先复盘一下流形上的积分定义，要求微分形式必须拥有紧致支撑集，所以流形上的积分其实是不考虑在$\mathbb{R}^1$上的广义积分的，那一种情况是根据微积分基本定理的延拓，显然我们这里不需要考虑这种问题。
仔细阅读一下stokes公式，可以看到其相当重要的限制有如下的两条

  • $\partial \omega$与$\omega$均需要是在整个流形上的光滑张量场，这是来自于微分形式的定义
  • 在上一条成立后，$\partial \omega$与$\omega$必须在整个流形上有一个紧致支撑集

注意这里没有要求流形的紧致性与连通性，因为微分形式有紧致支撑集可以规避这个问题，积分必然有意义
我们可以根据这两条去观察是否正确的使用stokes，并以此可以去凑出一个带着微分形式的流形可以达到我们的目的，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式都是在$\mathbb{R}^n$帮你找出了一种凑好的格式罢了

如果要把微分形式阶数降下来

  • 首先$d\omega$必须恒为0，不然绝对不存在
  • 降下来需要求解一个PDE，但PDE解完之后结果必须满足张量场是定义在整个被积分的流形上的光滑张量场 (而不是边界，这点需要看公式)
  • 有可能因为闭形式不是恰当形式而导致解不出，这时候要想证伪就可以使用stokes推论闭合超曲面积分为0反证证伪
  • 下一步即得到stokes公式

如果要把微分形式阶数升上去

  • 选定以自己这个流形$\partial \Omega$作为边界或者边界的一部分的“母”流形，抑或是再通过和其它区域相加补全后寻找(因为要升一阶微分形式)
  • 由于$\omega$是光滑张量场，那么$d\omega$也是在原边界的流形上的光滑的张量场(这点由外微分算子的定义来保证)，不需要考虑光滑的问题
  • 根据外微分算子的局部性与子流形上的积分定义，需要选择一个合理的微分形式，使得这个选择的微分形式$\beta$满足$f^{\ast}\beta=f^{\ast}\omega$(既是使用子流形在“母”流形上的约束方程与之联立，得到相关的微分形式组，以达到换微分形式，使得方便运算的结果)
  • (关于这个子流形上的微分形式，必须要微分形式和约束方程同时出现，并且消去才算作真正子流形上的微分形式，最次也得留着后面跟个括号，约束方程就是用来消去子流形和“母”流形之间的维度差数的，所以，不同的微分形式加以相同的约束方程，可能不一样的微分形式能计算出相同的结果，自然就可以得到一个原微分形式的集合，即求解$i^\ast\omega = i^\ast\alpha$，好比求解限制函数在应该定义域内的相等)，并且使得这个微分形式也要满足最基本的在$\Omega$上的光滑(stokes里暗含一个包含映射，来自于子流形用“母”流形的微分形式积分的定义)
  • 进一步，要考虑$\beta$是否在选定的母流形内存在紧致支撑集，像格林公式，高斯公式，斯托克斯公式都已经帮你选好了函数处处有定义的闭集了，就不需要考虑这个问题了
  • 下一步即得到stokes公式

总之最主要是判断stokes定理是否使用正确
以上这俩一个低一阶微分形式难取，一个“母”流形难取，倒是对称了，这也许就是数学的对称美感吧