关于多元复合函数的困惑与思考

导读:偏导数是相对某个具体的坐标系才有意义的。

问题的来源

我的学习过程比较复杂，因为对知识的渴求，想对问题做出解答，我学习了高数，线代，微分几何，微分流形；还接触了一些分析力学的部分。
我对分析学十分感兴趣，但我也经常产生许多的困惑。
关于多元复合函数的困惑主要是偏导数的问题，尤其是关于多元函数嵌套之后的偏导数的问题。

当时的我提出了与这个问题类似的问题
已知$ z＝f(u, x, y) $， $ u＝ψ(x, y) $，$ f $ 对$ x $的偏导需要$ u $和$ y $不变，那么我可以找出一个函数(比如令$ u＝x+y $)，$ u $、$ y $不变时，$ x $也不能变，那么这时$ f $对$ x $偏导还存在吗？意义又是什么？

而我在学习拉格朗日力学的时候又遇到了更多的问题，即广义坐标与广义速度之间的函数关系为什么在求导时候不需要考虑。

对第一个问题的解释

如果使用坐标系$ (u,x,y) $的话，那么求出的3个偏导数$ (f_u,f_x,f_y) $是一个整体($ f_u $代表$ f $对$ u $的偏导，下同)，那么你就得把$ (u,x,y) $当成3个独立的变量，你就不能把$ u $看成$ \phi(x，y)$。如果要把u看成$ \psi(x,y) $, 那么实际上求得就是$ z=f(\psi(x,y),x,y) $这个复合函数在坐标系$(x,y)$下面的偏导数。这两件事情是有区别的，实际上偏导数必须要先选取函数所对应的坐标(选取所有待求偏导的变量)以后才有意义。

而这里要提出一点是，由于一阶微分的形式不变性的存在，使得全微分并不存在这个问题，毕竟全微分是一层一层下来的，如果到达了可以求值的层数就熔断了(hahaha)

第二个问题是个乌龙

第二个问题关键在于，其实本身对拉格朗日量求那个偏导，拉格朗日量所用的那个映射，已经明确规定了它的参数是什么，而偏导也是对外函数求的，其实根本不会有时间$ t $牵扯进来的可能。

总结

偏导数之前是必须要确定所求函数参考的坐标系。
从自由度考虑，如果恒等式对两边求偏导，不能认为所有的变量都是独立变量，其实在两边求偏导前需要确定独立变量，才可以进行求偏导，不进行这一步操作会误以为所有变量独立，与原恒等式会发生矛盾
从一元函数的复合里有一种方式来记复合后的函数，即$ f\circ g $，对于多元函数这样的记法肯定不对，但是本质上求偏导还是对函数进行的，对于隐函数求导，在心里我们要明确左右两边求偏导时候，左边函数的性质:

• 它是个复合函数
• 它的参数列表已经变掉了
• 它的函数名没有显式的给出

至于偏导数还有没有可能会有更多的歧义之类的事情，要等我的物理学的更多，在下次对两边求偏导这件事再度发生时候，再考虑这个问题吧